Jeudi dernier, l'Université d'été accueillait la conférencière Marie-Hélène Labarthe pour la troisième fois. En 2024, elle a d'abord présenté l'élaboration des calendriers médiévaux avant de se pencher sur l'énigmatique nombre d'or en 2025. Cette année, elle proposait d'aborder une question importante : avant l'arrivée du système indo-arabe de représentation des nombres entiers, comment calculait-on du Vème au Xème siècles (époques mérovingienne et carolingienne) ? Vous allez voir que les doigts de la main ont leur utilité !
Il n'est pas simple d'approfondir le sujet car les sources historiques sont rares. En effet, certains historiens des sciences surnomment cette période « les ténèbres » tant les sources sur le calcul y sont rares. Les documents archéologiques sont inexistants et les écrits se limitent à quelques données glanées dans des ouvrages dont l'objet n'est pas le calcul au sens actuel du terme. Ces livres traitent du comput ecclésiastique, dont l'objet principal est la détermination des dates des fêtes religieuses. C'est pourtant dans ces ouvrages qu'elle a trouvé, disséminés, quelques textes lui permettant d'approcher des méthodes « pensées par des cerveaux » du Haut Moyen Âge « qui ne pensaient pas comme nous »...
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| Méthode de calcul digital |
Comment comptait-on et calculait-on, en Europe occidentale, avant l'arrivée des chiffres que nous utilisons aujourd'hui ? C'est la question qu'a explorée Marie-Hélène Labarthe, chercheuse retraitée en histoire des mathématiques, lors cette conférence consacrée au haut Moyen Age qui avait attiré un nombreux public au cloître des Carmes.
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| Marie Hélène Labarthe a enseigné à l'université de Perpignan. Ses racines sont saintongeaises |
Pendant cinq siècles, aucun texte ne décrit directement les techniques de calcul des moines et des lettrés. Pour combler ce silence, la chercheuse s'est donc tournée vers les « computs » - ces ouvrages consacrés au calendrier chrétien et au calcul des fêtes mobiles comme Pâques - seuls écrits scientifiques de l'époque à livrer, ici ou là, quelques indices sur la manière d'opérer avec les nombres.
À cette époque, ceux-ci s'écrivent en chiffres romains, un système où chaque symbole s'additionne (I, X, C...) plutôt que de dépendre de sa position, comme dans le nôtre. Un système plus lourd à l'écrit, mais qui n'empêche pas de calculer, contrairement à une idée reçue.
Compter sur ses doigts, un art savant
Avant même de multiplier ou de diviser, il fallait pouvoir exprimer les nombres. Les textes du haut Moyen Age, notamment ceux du moine anglo-saxon Bède le Vénérable, décrivent avec précision un langage gestuel permettant de représenter, avec les deux mains, tous les nombres jusqu'à 9999 : la main gauche pour les unités et les dizaines, la main droite pour les centaines et les milliers. Un geste est resté. Par exemple, pour dire « trente », on serre le pouce et l'index de la main gauche l'un contre l'autre, un geste que les textes comparent, avec une pointe de poésie, à « un mari et sa femme qui s'embrassent ».
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| Bède le Vénérable |
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| Calcul digital sur les doigts pour obtenir 5432 |
Une aristocrate du IXème siècle, Dhuoda, marquise de Septimanie, témoigne dans un manuel destiné à son fils que ce comptage digital était couramment pratiqué, jusqu'à un million. Mais comment multipliait-on avec les doigts? Aucun texte latin ne l'explique. Marie-Hélène Labarthe s'est donc tournée vers des sources arabes de la même époque, où la méthode est documentée : les doigts ne servent pas à calculer, mais à mémoriser des résultats intermédiaires pendant qu'on décompose un calcul de tête. Rien n'interdit de penser que le moines d'Occident, qui disposaient des mêmes bases - numérotation décimale et système digital - procédaient de façon comparable.
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| Voilà comment afficher un million ! |
Une preuve écrite : le « saut de lune » d'Helpéric
Pour le calcul écrit, la chercheuse s'appuie sur un outil aujourd'hui méconnu : les tables de multiplication conçues au Ve siècle par Victorius d'Aquitaine, érudit né à Limoges, chargé par Rome d'établir un calendrier chrétien. Sa table, bien plus fournie que la table de multiplication actuelle puisqu'elle doit composer avec les chiffres romains, s'est répandue dans les monastères et semble avoir été l'outil de calcul de référence pendant des siècles.
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| Victorius d'Aquitaine |
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| • Le "calculus" de Victorius d'Aquitaine (Ve siècle) contient une section intitulée "Ratio calculi per quam numerus in argumentis compendiose partitur" (méthode de calcul par laquelle un nombre est divisé de manière concise en arguments). Les tables de Victorius servaient en particulier à faciliter les opérations complexes liées aux calendriers ecclésiastiques (préciser la date de Pâques par exemple) |
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| Multiplication avec la table "le saut de lune" |
Un point a suscité le débat parmi les historiens : les moines utilisaient-ils un abaque (l'ancêtre du boulier) hérité des Romains ? Certains chercheurs l'affirment par déduction, jugeant le calcul en chiffres romains trop complexe sans instrument. Marie-Hélène Labarthe se montre plus prudente : aucune trace matérielle, ni textuelle d'abaque n'existe entre le Ve et la fin du Xe siècle. Ce silence, insiste-t-elle, « ne prouve rien dans un sens ou dans l'autre, mais interdit d'en faire une certitude établie ».
L'univers numérique du haut Moyen Âge est donc, conclut-elle, structuré - décimal, cohérent, efficace - mais limité : les moines n'avaient pas besoin de calculer au-delà de quelques milliers, les grands cycles du calendrier chrétien (28, 19 ou 15 ans) n'exigeant rien de plus. Il faudra attendre l'an mille et l'abaque à jetons chiffrés du moine Gerbert d'Aurillac, futur pape, pour que l'horizon mathématique s'ouvre aux très grands nombres. Mais ceci est une autre histoire...
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